¿Es posible enseñar a demostrar sin decir que es una demostración?

    Los días 21, 22 y 23 de septiembre, del corriente año, tuve la suerte de participar del V Congreso de Educación Matemática, en la Universidad CAECE.
    En la conferencia a cargo del Profesor Roberto J. Hernández, se hizo mucho hincapié en que hay una sola manera de enseñar bien, es hacerlo científicamente.
    Ayudar a nuestros alumnos a aprender a razonar, a pensar sin asustarlos con nombres difíciles o incomprensibles para ellos como: hipótesis, tesis, demostración, pero sin perder la rigurosidad científica que poco a poco debemos transmitir. Éste debe ser uno de nuestros objetivos principales.
    Tengamos presente que uno de los objetivos de la escuela es educar gente pensante, enseñar a pensar y la matemática es una herramienta fundamental para este objetivo.
    Noto en mis alumnos, año a año, una actitud pasiva, muchísimas veces les digo que la matemática no es un acto de fe, que ellos deben exigir que los convenza y que deben preguntar todo lo que no entiendan, el por que elijo ese camino y no otro, que pasa si lo hago de otra manera, ¿siempre es así? , etc.
    Les sugiero que tengan una actitud critica de las experiencias que hacemos.
    En la semana siguiente del congreso estabamos trabajando con los chicos de 1° año (9° año 3° ciclo E.G.B), con triángulos y algunos de ellos dieron clase especial, el tema a tratar: puntos notables del triángulo, tema que en años anteriores ya habían sido tratados geométricamente, personalmente he visto que la poca precisión de los elementos de geometría y la torpeza en el manejo de los mismos, en algunos alumnos, sean experiencias un poco frustrantes, pues no siempre logran que las bisectrices, mediatrices, alturas y medianas concurran en un punto o no siempre logran inscribir el triángulo en una circunferencia o inscribir una circunferencia en el triángulo.
    Creo que en los chicos queda la duda si realmente estas construcciones se pueden hacer o tratan de forzarlas para darle el gusto a la maestra o profesora.
    He visto hojas borradas un sin fin de veces, con agujeros otras, resultado de un trabajo muy trabajoso y poco feliz.
    Por lo tanto
    Les propuse pensar entre todos si realmente era cierto que las mediatrices de un triángulo concurrían en un punto o simplemente lo creían porque yo lo decía, que también juntos pensáramos si dibujando cada uno un triángulo diferente, marcando en él el circuncentro, podíamos todos inscribir el triángulo en una circunferencia cuyo centro fuera el circuncentro y el radio la distancia del circuncentro a cualquiera de los vértices.
    Entre todos fuimos "demostrando" esta propiedad sin decirles que se trataba de una demostración.
    Trabajamos de la siguiente manera:
    
1. Uno de los alumnos preparó para explicar a sus compañeros: "mediatriz de un segmento".
Construyó un segmento RM en el pizarrón, luego trazó la mediatriz del mismo, marcó los puntos A, N y G, sobre la mediatriz.

Comparó la longitud de los segmentos RA y AM; RG y GM; RN y NM.
Obtuvo los siguientes resultados:

Junto con sus compañeros elaboraron la siguiente conclusión:
Los puntos que pertenecen a la mediatriz de un segmento equidistan de los vértices del segmento.
El alumno luego entregó a sus compañeros el siguiente material para que pegaran en sus carpetas: (transcribo exactamente lo elaborado por el alumno)
"Mediatriz de un segmento: Recta perpendicular al segmento, trazada por su punto medio.
También se puede definir la mediatriz de un segmento como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento".
A partir de este material discutieron si la mediatriz resultaba eje de simetría del segmento y algunos chicos pidieron explicación del significado de lugar geométrico.

2. Un grupo de tres alumnos preparó mediatrices del triángulo.

a) Construyeron un triángulo en el pizarrón, trazaron sólo dos de las tres mediatrices posibles.

b) Preguntaron a sus compañeros que podían decir de las medidas de los segmentos OA y OF, todos coincidieron que tenían la misma longitud pues O pertenece a la mediatriz del segmento AF, la misma pregunta formularon respecto de los segmentos GO y OA, como O pertenece a la mediatriz del segmento AG entonces tienen la misma longitud.
Anotaron en el pizarrón las conclusiones:

Observaron que por la transitividad de la congruencia:
entonces O equidista de F y de G, por lo tanto tiene que pertenecer a la mediatriz del segmento FG, con lo cual concluyeron que las mediatrices concurren en un punto.

Llegado a este punto les preguntaron a sus compañeros si la distancia de O a los vértices del triángulo, era la misma o no.
Todos concluyeron que pues O pertenecía a la mediatriz de cada lado, por lo tanto equidistaba de cada uno de los extremos de los tres segmentos.

Los chicos propusieron a sus compañeros trazar una circunferencia, con centro en O y tomar como radio el segmento AO, preguntándoles a sus compañeros que pensaban ellos que ocurriría con los otros vértices del triángulo. "¿Piensan que pertenecerán a la circunferencia?", esa fue la pregunta.
Todos los alumnos observaron que los vértices G y F, también pertenecían a la circunferencia trazada con las condiciones dadas.
Los alumnos que exponían la clase les preguntaron a sus compañeros, si algún otro punto del triángulo pertenecía a la circunferencia trazada. La respuesta fue negativa.
Los expositores explicaron que en ese caso el triángulo quedaba inscripto en la circunferencia y que el punto de intersección de las mediatrices recibía el nombre de circuncentro por ser el centro de la circunferencia que inscribe al triángulo.
Los chicos indicaron a sus compañeros que para la siguiente clase cada uno trabajara este tema con distintos tipos de triángulos.

3. A continuación transcribo alguno de los trabajos presentados por los alumnos.

    Esta ha sido una experiencia muy enriquecedora para el grupo de alumnos pues el tema estuvo tratado por ellos mismos, la conducción de la demostración estuvo a cargo de ellos, sin plantearse como tal.
    Mi intervención fue solamente como guía en la preparación de los alumnos que exponían, corregir el material que entregarían a sus compañeros, intervenir en la clase cuando fue estrictamente necesario para formular alguna pregunta, para colaborar en el manejo de la disciplina, para ayudar a manejar el lenguaje técnico, para estimular a los alumnos durante sus exposiciones, animarlos, acompañarlos en la tarea de estar en el frente.
    Pude comprobar que la disposición de todos fue muy buena, los contenidos fueron comprendidos, el resultado fue totalmente satisfactorio.
    Espero para ustedes también resulte útil.