Divisibilidad

     Teniendo en cuenta la dificultad que observaba en los chicos para simplificar fracciones, calcular m.c.m y m.c.d., factorear, etc., elaboré una tabla con las reglas de divisibilidad, la cual entrego a mis alumnos como material de consulta permanente que guardan en la sección "FICHAJE" de su carpeta, y he obtenido muy buenos resultados. He comprobado que, poco a poco, los estudiantes van internalizando los criterios de divisibilidad.

     Adjunto la tabla de ejercicios y problemas con diferentes grados de dificultad, con el objeto que los alumnos comprueben la utilidad de dicha tabla.

     Sabemos que los chicos necesitan verificar a través de su propia experiencia, porque ésto realmente les simplifica la tarea; de lo contrario, el material entregado dormirá en el fondo de la mochila (en el mejor de los casos).

Divisible por:	Criterio	Ejemplo
2	Un número es divisible por 2 cuando la cifra de las unidades es múltiplo de 2 (número par)
3	Un número es divisible por 3 si la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 3
4	Un número es divisible por 4 cuando el número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4
5	Un número es divisible por 5 cuando la cifra de las unidades es múltiplo de 5 (0 ó 5)
6	Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3
7	Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es múltiplo de 7
8	Un número es divisible por 8 cuando el número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de 8	5888 1016
9	Un número es divisible por 9 si la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 9
10	Un número es divisible por 10 si la cifra de las unidades es cero	120 1540 250 1000 500
11	Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de las cifras de los lugares pares y la suma de los valores absolutos de los lugares impares, en el sentido posible, es múltiplo de 11
12	Un número es divisible por 12 cuando es divisible por 3 y por 4
25	Un número es divisible por 25 cuando el número formado por las últimas dos cifras es múltiplo de 25 Un número es divisible por 25 si la cifra de las unidades más diez veces la cifra de las decenas es múltiplo de 25
100	Un número es divisible por 100 si las últimas cifras son dos ceros	2700 1700 25400

Ejercicios y problemas. ¡A resolver!

1 - ¿Con qué cifra completarías para que el número sea múltiplo de a?

a) 122        a=4
b) 6495      a=3
c) 525        a=5
d) 874        a=11
e) 504        a=8
f) 756         a=9
g) 624        a=11
h) 751        a=2
 i) 852        a=6
 j) 109        a=7
k) 85          a=25

2 - ¿Qué cifra hay que poner para que el número 367

a) sea múltiplo de 3 y de 5?
b) sea múltiplo de 2 y de 5?

3 - El conjunto D está formado por todos los múltiplos de dos comprendidos entre 1 y 1000; el conjunto T está formado por todos los múltiplos de tres comprendidos entre 1 y 1000. ¿Cuántos elementos tienen los conjuntos D, T y D I T? (Ñandú 1° nivel, 5° Grado, 2°año 2° Ciclo EGB)

4 - El número N tiene este aspecto: N=3a42b, con a y b dígitos. ¿De cuántas maneras puedo elegir a y b para que N sea divisible por 6? (Ñandú 2° nivel, 6° Grado, 3°año 2° Ciclo EGB)

5 - ¿Cuántos números naturales de 4 cifras terminan en 36 y son múltiplos de 36? (O.M.A. 1° nivel, 1° y 2° año, 8° y 9° año 3° Ciclo EGB)

6 - Reemplazando a y b por dígitos, hallar todos los números naturales de cinco cifras 65a1b que son múltiplos de doce. (O.M.A. 1° nivel, 1° y 2° año, 8° y 9° año 3° Ciclo EGB)

Respuestas:

1-
a) Respuestas posibles: 1212; 1232; 1272; 1292
b) Respuestas posibles: 64095; 64395; 64695; 64995
c) Respuestas posibles: 5025; 5125; 5225; 5325; 5425; 5525; 5625; 5725; 5825; 5925
d) 8745
e) Respuestas posibles: 5040; 5048
f) Respuestas posibles: 750
g) 6424
h) Respuestas posibles: 7510; 7512; 7514; 7516; 7518
i) Respuestas posibles: 8520; 8526
j) Respuestas posibles: 1029; 1099

Comprobación:

k) Respuestas posibles: 825; 875

2 -

a)   3675
b)   3670

3 -

      Como los múltiplos de dos son los números pares, entre 1 y 1000, hay 500 pares y 500 impares; por lo tanto el conjunto D tiene 500 elementos.

      Como 3 es el menor número múltiplo de tres entre 1 y 1000, y si dividimos 1000 por 3, obtenemos un cociente igual a 333, con resto 1, por lo tanto 333 es el mayor entero por el que podemos multiplicar a 3 para obtener un número no mayor que 1000.

      Los múltiplos de tres que están entre 1 y 1000 se escriben como 3 por un número entero comprendido entre 1 y 333; hay 333 múltiplos de tres entre 1 y 1000.

      El conjunto T tiene entonces 333 elementos.

      El conjunto D I T está formado por los múltiplos de dos y de tres, por lo tanto por los múltiplos de seis (según criterio de divisibilidad).

      Como 6 es el menor múltiplo de 6 entre 1 y 1000 y al dividir 1000 por 6 obtenemos un cociente igual a 166, con un resto igual a 4.

      Siguiendo el razonamiento que hicimos para calcular la cantidad de elementos del conjunto T, podemos decir que los elementos del conjunto D I T son 166.

4 -

     N = 3a42b; con a y b dígitos

     N es divisible por 6 por lo tanto es divisible por 2 y por 3. Como es divisible por 2, b puede tomar solamente los valores 0, 2, 4, 6 u 8. Como es divisible por 3, 3+a+4+2+b tiene que ser múltiplo de 3, o sea 9+a+b tiene que ser múltiplo de 3, con lo cual a+b tiene que ser múltiplo de 3; a+b puede tomar los valores 0, 3, 6, 9, 12, 15 o 18. (recordar que a y b son dígitos).

     Analicemos las distintas posibilidades:

• Si a+b=0 entonces a=b=0                       (1)
  
• Si a+b=3, como b es par: b=0 y a=3
                                        b=2 y a=1        (2)
  
• Si a+b=6, como b es par: b=0 y a=6
                                        b=2 y a=4
                                        b=4 y a=2
                                        b=6 y a=0        (4)
  
• Si a+b=9, como b es par: b=0 y a=9
                                        b=2 y a=7
                                        b=4 y a=5
                                        b=6 y a=3
                                        b=8 y a=1        (5)
  
• Si a+b=12, como b es par: b=4 y a=8
                                          b=6 y a=6
                                          b=8 y a=4      (3)
  
• Si a+b=15, como b es par: b=6 y a=9
                                          b=8 y a=7      (2)
  
• Si a+b=18, como b es par: no hay valores posibles para a y b, que son dígitos. (0)

Para cada posibilidad se escribió entre paréntesis la cantidad de opciones, por lo tanto hay 17 maneras distintas de elegir a y b para que N resulte divisible por 6

5 -

Se busca encontrar los números xy36, x 0, múltiplos de 36.

Un número es múltiplo de 36 si lo es de 4 y 9, pero como xy36 termina en 36, cumple con el criterio de divisibilidad por 4, por lo tanto sólo debemos encontrar las condiciones para que xy36 sea múltiplo de 9, o sea que x + y + 3 + 6= 9 , o simplemente x + y sea múltiplo de 9.

Se presentan sólo dos posibilidades: (no olvidemos que x e y son dígitos)
          x + y = 9     ó    x + y = 18

Si x + y = 9, para cada valor posible de x hay un único valor de y (y = 9-x); x = 1,2,...,9; por lo tanto son 9 los números.

Si x + y = 18, sólo existe una posibilidad x = y = 9.

En total hay 10 números xy36, x 0, que son múltiplos de 36.

Nota: este problema muchos alumnos lo resuelven haciendo la lista de todos los números de cuatro cifras terminados en 36 y tachan los que no cumplen con el criterio de divisibilidad por 9, cuentan los que no tacharon y obtienen correctamente el resultado, en ese caso además de conocer cuántos números son, averiguan cuáles son. Puede ser una variante de este problema plantear ambas preguntas.

6-

 Leemos en la tabla el criterio de divisibilidad por 12: nos indica que un número es divisible por 12 cuando es divisible por 3 y por 4.

Divisibilidad por 3: 6 + 5 + a + 1 + b debe ser múltiplo de 3.
Divisibilidad por 4: 1b debe ser múltiplo de 4. Por lo tanto los únicos valores posibles de b son 2 y 6.

Analicemos ambas posibilidades:

i) b = 2: el número es 65a12, para que sea múltiplo de 3, 6 + 5 + a + 1 + 2 = 14 + a debe ser múltiplo de 3, 14+a es múltiplo de 3 si a = 1, 4 ó 7.

ii) b = 6: el número es 65a16, para que sea múltiplo de 3, 6 + 5 + a + 1 + 6 = 18 + a debe ser múltiplo de 3, 18+a es múltiplo de 3 si a = 0, 3, 6 ó 9.

          Los números buscados son 12 y son los siguientes:

            65112, 65412, 65712, 65016, 65316, 65616, 65916

Bibliografía:

• Julia Seveso y Graciela Ferrarini. OLIMPÍADA MATEMÁTICA ÑANDÚ - PROBLEMAS 2. Red Olímpica. Colección Pacha Mama.
  
• Julia Seveso y Graciela Ferrarini. OLIMPÍADA MATEMÁTICA ÑANDÚ - PROBLEMAS 3. Red Olímpica. Colección Pacha Mama.
  
• Patricia Fauring y Flora Gutierrez. Olimpíada Matemática Argentina
  Problemas 8. Red Olímpica. Colección NAMAKKAL.
  
• Patricia Fauring y Flora Gutierrez. Olimpíada Matemática Argentina
  Problemas 9. Red Olímpica. Colección NAMAKKAL.
  
• Julia Seveso de Larotonda, Ana Renata Wykowski y Graciela Ferrarini. Matemática 7 C. B. C. Editorial Kapeluz.
  
• Susana Semino/ Susana Englebert/ Stella Pedemonti.
  Matemática 7 - 3° Ciclo EGB. Editorial A-Z