Más Demostraciones Visuales

    A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner "en concreto" principios abstractos, hay que tener mucho cuidado cuando presentamos a los chicos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusión de valor matemático o geométrico.

    Voy a mostrarles algunas que resultan útiles, pero también agrego una engañosa, que siempre comparto con mis alumnos para ver juntos cómo los sentidos -y las presunciones- pueden confundirn nuestro razonamiento.

    Espero que este aporte les resulte de utilidad y puedan mostrarles a sus alumnos las ventajas y desventajas de concluir a partir de una figura.

Ejemplo 1

El área de un triángulo es igual a la del rectángulo que tiene la misma base y la mitad de su altura. Obsérvese con atención la siguiente figura:

Comencemos por construir un rectángulo cuya base es igual a CB y su altura igual a GD, o sea la mitad de la altura del triángulo ABC.

y luego completemos el rectángulo...

Intentemos ahora "demostrar" que las áreas de las siguientes figuras son iguales:

Si recortamos ambas figuras en papel y las superponemos tal como se indica debajo, lo único que hace falta para alcanzar una "demostración" concreta de la igualdad de ambas figuras es efectuar un corte por MN, luego dividir por AG en el triángulo resultante, y solapar AGM sobre COM y AGN sobre NPB para comprobar que sus superficies son iguales.

Ejemplo 2

    Al enseñar triángulos nos referimos a las relaciones entre sus elementos, por ejemplo: "La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º". Pero una cosa es decirlo y otra comprobarlo. Pueden medirse los ángulos y sumar los resultados para obtener el ángulo plano, pero aquí hay una alternativa para que los chicos trabajen materializando un triángulo en cartón, cartulina o papel, y comprueben con sus propios ojos esa relación.

    Haz que dibujen y recorten un triángulo, señalando sus ángulos con diferentes colores en ambos lados de la hoja.

Luego pídeles que marquen el triángulo de la siguiente manera,

Por último , bastará que plieguen el papel por las líneas AB, BC y CD, juntando M con E, N con E y P con E para obtener el rectángulo de abajo, donde claramente se ve que los tres ángulos interiores suman 180º:

    Una alternativa "demuestra" visualmente la propiedad: "en todo triángulo, cada ángulo exterior es igual a la suma de los interiores no adyacentes con él", simultáneamente con la propiedad trabajada en el caso anterior.

Para demostrarlo, recortar un triángulo, pintar dos ángulos interiores y recortarlos.

2º) Pegar el triángulo obtenido en una hoja

Y luego pegar adyacente al ángulo que no recortamos los ángulos interiores recortados tal como se indica debajo:

a) por confiar en nuestras representaciones mentales

b) por aceptar por ciertos hechos no comprobados, y

c) por diseñar experimentos sin el debido rigor.

    Cuéntales a tus alumnos -con la mayor seriedad que te sea posible- que un compañero de la Universidad (o del Profesorado, la idea de que es alguien mayor que ellos bastará para impresionarlos), descubrió un día un modo curioso de hacerse rico gracias a una propiedad oculta de las figuras geométricas, que dedujo por casualidad. Dí que tú nunca confiaste demasiado en él, pero que algo raro debe haber sucedido, porque poco tiempo después de contarte su descubrimiento tu amigo desapareció para siempre sin dejar rastros, aunque se corrió el rumor en la Facultad de que alguien lo había visto en las Bahamas bebiendo un cóctel en la playa, rodeado de señoritas muy atractivas y repartiendo propinas a manos llenas.

    La teoría de tu amigo era sencilla. Tomaba una lámina de oro de 8 centímetros de lado y la recortaba según este diagrama, que dibujarás en el pizarrón, pidiendo a tus alumnos que lo reproduzcan en una cartulina.