Uso de áreas para demostrar identidades algebraicas

      Jugar con mis alumnos trabajando con figuras conocidas por ellos para "demostrar" identidades algebraicas, me ha resultado una muy buena técnica con la todos nos divertimos. A través de esta actividad, los chicos tienen la posibilidad de visualizar trabajando con material concreto una identidad algebraica.

      Éstas, por su nivel de abstracción, pueden presentar dificultad especialmente en los años inferiores donde muchos de los adolescentes no han logrado alcanzar el nivel de pensamiento abstracto que requieren las operaciones algebraicas. Estas actividades han contribuido a una mejor comprensión de las mismas.

      A continuación les mostraré algunas variantes que he trabajado en el aula. Los materiales necesarios para estos trabajos son sencillos de conseguir: papel glacé, regla, lápiz, tijera y pegamento vinílico.

El Famoso "cuadrado de un binomio"

1. SUMA

Una de las ventajas que brinda esta técnica es que los chicos visualizan la imposibilidad de aplicar la propiedad distributiva de la potenciación respecto de la adicción o sustracción, cuya operativa algunos alumnos no terminan de internalizar. A través de esta experiencia queda claro que el resultado del cuadrado de un binomio es un trinomio.

Vamos a trabajar

Tomamos un cuadrado de papel glacé y marcamos sus lados como b+a
Luego trazamos dos líneas en tres cuadrados de colores diferentes (a elección), como se indica en el siguiente esquema:

Recortamos estos tres cuadrados por las líneas y separamos las siguientes figuras, etiquetando sus lados como se indica:

Con estas cuatro figuras armamos un cuadrado mayor, según este esquema:

que resulta ser igual a

Recapitulemos los pasos. Para construir una figura de lado b+a utilizamos:

1. un cuadrado de lado b (b²)
2. un cuadrado de lado a (a²)
3. un rectángulo de lado a y de lado b (ab)
4. un rectángulo de lado a y de lado b (ab)

Nota: los pasos 3º y 4º se podrían resumir en 2 rectángulos de lado a y de lado b, o sea 2ab.

Por lo tanto:

Hemos preparado para ustedes una animación on-line que ilustra esta
demostración y que pueden utilizar en clase con sus alumnos.

2. DIFERENCIA

Vamos a trabajar

Tomamos dos pliegos de papel glacé de distintos colores, todos de lado b. Marcamos a sobre cada lado, trazamos las líneas necesarias y recortamos hasta obtener las figuras que se muestran abajo; nuestro objetivo es a partir de estas figuras lograr el área de un cuadrado de lado (b – a).

Con las piezas así dispuestas armamos un cuadrado de lado = b

Vamos a proceder a efectuar el cálculo b² - 2ab + a² para comprender el porqué de cada elemento. A ese fin, primero restamos ab de b²

Ahora deberíamos restar nuevamente ab, sin embargo, para obtener un área semejante no nos alcanza con el rectángulo naranja, al cual le falta un área representada por el pequeño cuadrado verde dentro de (b-a)². Por eso, restaremos ambos, el rectángulo naranja y el pequeño cuadrado verde, que juntos equivalen a ab.

Es evidente que para que la figura marcada como (b-a)² represente exactamente esa área, es imperativo volver a SUMARLE el cuadrado de lado a.

Repasemos los pasos, de un cuadrado de lado b, restamos:
1º un rectángulo ab
2º un rectángulo ab
3º agregamos a²
Nota: los pasos 1º y 2º se podrían resumir en dos rectángulos de lado b y de lado a.

Por lo tanto:

Hemos preparado para ustedes una animación on-line que ilustra esta
demostración y que pueden utilizar en clase con sus alumnos.

La Famosa "Diferencia de Cuadrados"

Construimos un cuadrado de lado b

Marcamos un segmento de lado a como indica la figura, y trazamos una diagonal, obteniendo los siguientes segmentos:

Recortamos la figura según se indica:

Con las piezas azules armamos un rectángulo (será necesario "dar vuelta" una de ellas):

Observemos que quedó formado un rectángulo de lado (a + b) y de lado (a – b):

Al comparar las áreas de las dos figuras, notamos que son iguales:

Hemos "demostrado" geométricamente la identidad algebraica:

Hemos preparado para ustedes una animación on-line que ilustra esta
demostración y que pueden utilizar en clase con sus alumnos.

      Espero que estas actividades les resulten útiles al trabajarlas con sus alumnos. Si desean que exploremos juntos el potencial de las demostraciones gráficas y construyamos otras animaciones para usar en el aula, envíennos sus sugerencias y con gusto las consideraremos.